拓?fù)浣^緣體的神奇世界（1）

當(dāng)溫度升到攝氏0度以上時，冰融化成水，水分子在液態(tài)水中的分布變得無序，氫鍵變少。液態(tài)水在溫度升高至沸騰，或者在常溫下蒸發(fā)時，便變成水蒸氣，氫鍵基本不存在，水分子的空間分布更加無序和稀少。水蒸氣基本上可以看成是各向同性反，滿足在所有對稱性操作下不變。從冰到水蒸汽，是一個各向異性到各向同性的過度，相變的過程就是對稱性改變的過程。

另一個例子是Landau的鐵磁相變——順磁體冷卻通過居里點(diǎn)由順磁性變?yōu)殍F磁性的相變。冷卻過程中磁矩的整體方向改變意味著對稱性的改變。

然而拓?fù)湎嗖⒉灰蕾囉诓牧系木植考?xì)節(jié)，如雜質(zhì)等。準(zhǔn)確的說，拓?fù)湫虿⒉皇歉鶕?jù)對稱性破缺來定義的，它的定義依賴于拓?fù)淇臻g的結(jié)構(gòu)。

拓?fù)淇臻g非常抽象，它是相空間與系統(tǒng)Hamilton量直積構(gòu)成的底空間。相空間又被稱作布里淵區(qū)，是因?yàn)榫�體周期性而存在的電子動量空間。我們考慮d維晶體，由于周期性，它的相空間是d維圓環(huán)面。Bloch Hamilton量有2n個自由度（n是電子總數(shù)），包含了所有電子的能量、角動量、自旋等信息。在布里淵區(qū)的每一點(diǎn)，Bloch Hamilton量是長在這個點(diǎn)上的2n維向量，也就是布里淵面上的纖維叢。

最簡單的情況是二維圓環(huán)面 T2 與自旋簡并下的單電子Hamilton量的直積，如圖所示。在一般情況下，相空間與Hamilton量的希爾伯特空間直積構(gòu)成的空間是科學(xué)家們所研究的空間。拓?fù)浣^緣體中的拓?fù)洌�便是這個空間的拓?fù)湫再|(zhì)。而拓?fù)湎嘧兙褪峭負(fù)淇臻g的拓?fù)湫再|(zhì)發(fā)生改變。

舉個簡單的例子，二維情況下平坦的空間就是平面，平面可以連續(xù)變換成球面（除了無窮遠(yuǎn)的點(diǎn)以外，參考球極映射）。但是球面無法連續(xù)變換成“甜甜圈”，也就是圓環(huán)面（torus）。有一個洞的甜甜圈也無法連續(xù)變換成有兩個洞的（double torus）甜甜圈。

連續(xù)變換是一個數(shù)學(xué)上的概念，可以簡單的理解成扭曲變形，但是不能扎破，不能撕裂。