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    [分享]半解析快速傅里葉變換 [復制鏈接]

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    只看樓主 倒序閱讀 樓主  發(fā)表于: 2021-03-31
    我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。 +Lo,*  
     8P2_/)|  
    1.簡介 4hn' b[  
     4 X0ku]  
    物理光學建模需要頻繁地從空間轉(zhuǎn)換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學建模的支柱[1]。FFT技術的數(shù)值計算量與場分量復振幅所需采樣點的數(shù)量近似成線性關系。在光學中，我們經(jīng)常處理有強波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復抽樣導致了大量的數(shù)值計算工作，甚至在FFT中也是如此。 4*UKR!sr  
     ,ZnL38GW  
    2.理論 *4l6+#W  
    2.1 場的表征：提取二次相位 T\Jm=+]c!  
     PW9tZx#  
    我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號對應6個場分量，也就是V = (E, H)： ^n\g,  
     V<d`.9*}  
    (]5gYi  
    (1) / 6DW+!  
    在公式1中，我們假設場有兩部分：衍射場和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結(jié)果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認為是余項場。假設exp(iψ(ρ))可由其實數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出： |Lc.XxBkc  
    <_4'So>  
    (2)
    顯然，在強二次相位情況中，全場比余項場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標是通過FFT且無二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計算V(ρ)的傅里葉變換。 jW}hLjlN  
     [Fr <tKtB  
    2.2.半解析傅里葉變換 qc6d,z/  
     ^5-SL?E  
    從卷積定理可知： sT91>'&  
    <In+V  
    (3) 0EC/l OS  
    通常來說，項必須進行數(shù)值計算處理。另一方面，從數(shù)學角度[2]我們可知： ^K^rl 9  
    Q*/jQC  
    (4) eW[](lGWM  
    適用于任何復，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。 Ul|htB<1:  
    在該數(shù)學工具的幫助下，項κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導出來： EsLtC5]  
                         (5)
    其中： &=lh Kt  
                          (6)
    其中常數(shù)項。 D]K?ntS[*  
    將公式5帶入公式3，通過改變卷積和傅里葉變換積分的階次，我們發(fā)現(xiàn)可以表示為： OL623jQX  
    (7)
    其中： So#>x5dL  
    (8)
    這里， 和坐標項。公式7-8是半解析傅里葉變換的數(shù)學表達式。它表示全場的FFT可被兩個余項場的FFT替代。 :n oZ p:a  
     H8!lSRq  
    3.數(shù)值仿真 PB@jh}  
     ;GZ'Rb  
    這些概念在物理光學建模和設計軟件Wyrowski VirtualLab Fusion[3]中實現(xiàn)。 A&Cs (e  
     -nB. .q  
    3.1.有效性測試1：純二次相位 qnw8#!%I  
     ' h|d-p\`9  
    在第一組測試中，我們準備了余項場，其幅度信息如圖1所示，且相位為零。我們將不同的二次相位項exp(iψq(ρ))與之相乘，組成。然后我們分別對全場應用FFT和半解析FFT。 et`rPK~m  
    vz)zl2F5sY  
    ~&+8m=   
    圖2展示了不同情況下FFT和半解析FFT所需的采樣點。可以發(fā)現(xiàn)當場有強二次相位時，半解析FFT需要比FFT少得多的抽樣點。 uHyc7^X>  
    H(Ad"1~.#  
    'Y>@t6E4